1. Übersicht
Bei dem Thema der Kurvendiskussion mit ganzrationalen Funktionen ist folgendes abzuarbeiten:
- Zuerst sieht eine ganzrationale Funktion folgendermaßen aus:
- Bestimmung der Symmetrie der Funktion, falls vorhanden
- Bestimmung der Nullstellen
- Bestimmung der Extrema
- Bestimmung der Wendestellen
- Monotonie einer Funktion
Im Endeffekt verläuft viel nach dem selben Muster, aber das werdet ihr selber ganz schnell sehen.
2. Symmetrie
Zur Symmetrie gibt es zwei einfach zu merkende Sätze. Wenn ist die Funktion y-Achsen-Symmetrisch. Ein Beispiel mit
und
und
:
Die Funktion ist y-Achsen-symmetrisch
Die Funktion ist nicht y-Achsen-symmetrisch
Die Funktion ist nicht y-Achsen-symmetrisch
Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung wenn gilt. Dies probieren wir auch noch einmal anzuwenden mit den gleichen Beispielen wie oben.
Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung aber y-Achsen-symmetrisch
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung aber nicht y-Achsen-symmetrisch
Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung und nicht y-Achsen-symmetrisch
Zur Veranschaulichung hier noch die jeweiligen Funktionsgraphen Der Funktionen:
3. Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen eines Graphen lassen sich nicht auf eine universell gültige Weise bestimmen, es sind häufig andere Hilfsformeln nötig die immer mehr oder weniger schwierig sind. Was jedoch immer gilt ist dass die Funktion gesetzt werden muss. Danach muss man auch immer die Funktionsgleichung nach
auflösen, allerdings geschieht dies oft auf eine andere Art und Weise. Die evtl. anwendbaren Verfahren sind hier nach der Einfachheit sortiert, angefangen beim einfachsten, aufgehört beim kompliziertesten. Allgemein gilt übrigens, dass eine Funktion maximal so viele Nullstellen haben kann wie hoch ihr Grad ist!
3.1. Einfaches Umformen
Es kann Funktionsgleichungen geben, bei denen man durch einfaches Umformen auf die Lösung kommen kann. Eine Funktion bei der dies anwendbar wäre ist zum Beispiel . Hierbei lässt sich diese Funktion auf einfache Weise nach x auflösen:

3.2. Ausklammern
Bei allen Funktionen die keine Konstante (d.h. keinen Wert ohne haben) lässt sich etwas ausklammern. Die auszuklammernde Variable ist dabei meistens
. Ein Funktionsbeispiel hierfür wäre die Funktion
.





Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei und eine bei
.
3.3. Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel lässt sich generell bei Gleichungen der Form anwenden, also bei quadratischen Gleichungen. Ein Beispiel hierfür könnte unter anderem die Funktion
sein. Allerdings müsste man bei dieser Funktion zunächst ausklammern. Dieses Beispiel soll auch zeigen, dass häufig Kombinationen aus den verschiedenen Methoden nötig sind:











3.4. Substitution
Die Substitution ist das komplizierteste Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei werden bestimmte Potenzen von durch eine Variable zunächst ersetzt. Dann wird nach dieser Variable aufgelöst und es wird wieder in die Ausgangsvariable übersetzt. Das ist so ohne Beispiel schwer zu verstehen. Eine Beispielfunktion wäre
. Hierbei könnte man
setzen, dann hätte man für die Funktion nur noch
,was wiederum eine Funktion wäre die man mit der Mitternachtsformel auflösen könnte:





4. Extremstellen bestimmen
Als Extremstellen versteht man Hoch- oder Tiefpunkte einer Funktion. Anschaulich also Berge und Täler des Graphen. Ich möchte hier zusätzlich auch die Sattelpunkte besprechen, da es vom verfahren sehr ähnlich ist!
Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, bei dem Funktion zuvor ansteigend ist, beim Sattelpunkt die Steigung hat, wie bei jedem Extrema, und die Funktion danach wieder ansteigt. Natürlich geht das auch mit kontinuierlich fallenden Funktionen. Um die Extremstellen zu bestimmen müssen wir die erste Ableitung unserer Ausgangsfunktion gleich
setzen. Wir nehmen hier als Beispielfunktion
und müssen diese ersteinmal ableiten, dabei erhalten wir
und von dieser Funktion müssen wir jetzt wie bei 3. erklärt die Nullstellen bestimmen:


Nun wissen wir zumindest bei welchen -Werten sich die Extremstellen befinden. Wir wissen allerdings immer noch nicht, ob es Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte sind. Dazu benötigen wir die hinreichenden Bedingungen, von denen die einfachere sicherlich die über die zweite Ableitung der Funktion ist. Dabei leitet man die Funktion
ein weiteres Mal ab und setzt in die erhaltene Funktion dann die gerade erhaltenen Extremstellen ein. Ist das Ergebnis der Funktion dann größer als
haben wir einen Tiefpunkt ist es kleiner als
haben wir einen Hochpunkt und falls es gleich
ist haben wir an dieser Stelle einen Sattelpunkt. Das bedeutet für unser Beispiel:

Wir haben also bei dem -Wert
einen Hochpunkt und bei den Werten
und
Tiefpunkte. Sattelpunkte gibt es bei dieser Funktion keine. Um die
-Koordinaten zu den Werten herauszubekommen müsste man sie wieder in
einsetzen:
Nun sind alle Extremstellen bestimmt.
5. Wendestellen bestimmen
Wendestellen sind Stellen an denen die Funktion die maximale bzw. minimale Steigung hat, d.h. auch dass sie an Wendestellen von einer Rechts- bzw. Linkskurve in eine Links- bzw. Rechtskurve „wendet“, daher auch der Name. Die notwendige Bedingung an Wendestellen ist dass die zweite Ableitung gleich sein muss. Als Funktion nehmen wir die aus dem vorherigen Beispiel:

Nun haben wir also bei und
Wendestellen. Wenn uns nun noch interessiert ob wir von einer Links- in eine Rechtskurve übergehen oder andersherum müssen wir noch die dritte Ableitung bestimmen und in diese
und
einsetzen. Wenn der Wert kleiner
ist gehen wir von einer Linkskurve in eine Rechtskurve, falls er größer
ist von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

Um die -Werte der Wendestellen zu erhalten müssen natürlich die erhaltenen
-Werte wieder in
eingesetzt werden.
Somit habt ihr die komplette Kurvendiskussion durchgeführt und könnt nun den Graphen der Funktion zeichnen, die ihr untersucht habt. Die Funktion die hier jetzt als Beispiel für die Berechnung der Extrem und Wendestellen gedient hat sieht volgendermaßen aus:
6. Monotonie
Die Monotonie einer Funktion ist ein Thema, welches nicht unbedingt notwendig ist um eine Kurvendiskussion durchzuführen. Allerdings schadet es nicht sich auch dabei etwas auszukennen. Als Monotonie bezeichnet man ein bestimmtes Verhalten einer Funktion auf einem gewissen Intervall. Die Funktion kann dabei vier Zustände annehmen. Sie kann:
- Streng monoton steigend sein. Das heißt ihre Ableitung ist immer größer als null:
- Monoton steigend sein. Das würde bedeuten dass ihre Ableitung im Intervall größer oder gleich null sein muss:
- Monoton fallend sein. Dabei wäre ihre Ableitung im Intervall immer kleiner oder gleich null:
- Streng monoton fallend sein, wobei die Ableitung immer kleiner als null wäre:
Um herauszufinden welcher dieser Fälle zutrifft müsste man die Ausgangsfunktion ableiten und prüfen, ob zwischen den Intervallgrenzen Nullstellen bestehen. Falls ja und, falls es welche mit Vorzeichenwechsel sind ist keiner der Fälle erfüllt. Falls es welche ohne Vorzeichenwechsel sind ist die Funktion nicht „streng“. Nun wäre zu prüfen ob die Ableitung im Intervall größer oder kleiner null ist und je nach dem wäre die Funktion monoton steigend oder fallend. Falls es allerdings keine Nullstellen im Intervall gibt ist die Funktion auf dem Intervall „streng“. Man müsste auch hier wieder über einen Beispielwert prüfen ob steigend oder fallend.
Damit wäre das Thema der Kurvendiskussion mit ganzrationalen Funktionen erledigt. Man kann auch Kurvendiskussionen mit gebrochenrationalen Funktionen der Form
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2 Comments
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