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1. Übersicht

Bei dem Thema der Kurvendiskussion mit ganzrationalen Funktionen ist folgendes abzuarbeiten:

• Zuerst sieht eine ganzrationale Funktion folgendermaßen aus: $f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_nx^n$
• Bestimmung der Symmetrie der Funktion, falls vorhanden
• Bestimmung der Nullstellen
• Bestimmung der Extrema
• Bestimmung der Wendestellen
• Monotonie einer Funktion

Im Endeffekt verläuft viel nach dem selben Muster, aber das werdet ihr selber ganz schnell sehen.

2. Symmetrie

Zur Symmetrie gibt es zwei einfach zu merkende Sätze. Wenn $f(-x)=f(x)$ ist die Funktion y-Achsen-Symmetrisch. Ein Beispiel mit $f(x)=4x^2$ und $f(x)=4x^3$ und $f(x)=4x^4+x$:

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung wenn $f(-x)=-f(x)$ gilt. Dies probieren wir auch noch einmal anzuwenden mit den gleichen Beispielen wie oben.

Zur Veranschaulichung hier noch die jeweiligen Funktionsgraphen Der Funktionen:

3. Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen eines Graphen lassen sich nicht auf eine universell gültige Weise bestimmen, es sind häufig andere Hilfsformeln nötig die immer mehr oder weniger schwierig sind. Was jedoch immer gilt ist dass die Funktion $f(x)=0$ gesetzt werden muss. Danach muss man auch immer die Funktionsgleichung nach $x$ auflösen, allerdings geschieht dies oft auf eine andere Art und Weise. Die evtl. anwendbaren Verfahren sind hier nach der Einfachheit sortiert, angefangen beim einfachsten, aufgehört beim kompliziertesten. Allgemein gilt übrigens, dass eine Funktion maximal so viele Nullstellen haben kann wie hoch ihr Grad ist!

3.1. Einfaches Umformen

Es kann Funktionsgleichungen geben, bei denen man durch einfaches Umformen auf die Lösung kommen kann. Eine Funktion bei der dies anwendbar wäre ist zum Beispiel $f(x)=x^2-4$. Hierbei lässt sich diese Funktion auf einfache Weise nach x auflösen:

$$f(x)=0=x^2-4\qquad\mid\,+4\\4=x^2\qquad\mid\,\sqrt{}\\x=\pm\sqrt{4}=\pm2\\x_1=2;x_2=2$$

Achtung: Beim Ziehen der Wurzel wie in diesem Fall ist immer zu beachten, dass das $x$ sowohl positiv als auch negativ sein könnte um die Gleichung zu erfüllen!

3.2. Ausklammern

Bei allen Funktionen die keine Konstante (d.h. keinen Wert ohne $x$ haben) lässt sich etwas ausklammern. Die auszuklammernde Variable ist dabei meistens $x$. Ein Funktionsbeispiel hierfür wäre die Funktion $f(x)=x^2-4x$.

$$f(x)=0=x^2-4x=x*(x-4)$$

Nun haben wir zwei Faktoren. Einmal $x$ und einmal $x-4$. Ein Produkt wird genau dann $0$, wenn einer der beiden Faktoren, in diesem Fall $x$ und $x-4$, null wird. Von daher können wir die Linearfaktoren als getrennte Funktionen betrachten, deren Nullstellen jeweils den Nullstellen der Ausgangsfunktion entsprechen:

Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei $0$ und eine bei $4$.

3.3. Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel lässt sich generell bei Gleichungen der Form $f(x)=ax^2+bx+c$ anwenden, also bei quadratischen Gleichungen. Ein Beispiel hierfür könnte unter anderem die Funktion $f(x)=2x^3+4x^2+2x$ sein. Allerdings müsste man bei dieser Funktion zunächst ausklammern. Dieses Beispiel soll auch zeigen, dass häufig Kombinationen aus den verschiedenen Methoden nötig sind:

$$f(x)=0=2x^3+4x^2+2x=x*(2x^2+4x+2)$$

Als erste Nullstelle haben wir nun selbstverständlich $x_1=0$ aus dem Linearfaktor $x$ . Aus dem zweiten Linearfaktor $(2x^2+4x+2)$ können wir nun mithilfe der Mitternachtsformel die weiteren Nullstellen bestimmen. Die Mitternachtsformel lautet

$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

, wobei $a$ die Zahl vor dem $x^2$ ist, $b$ die Zahl vor $x$ ist sowie $c$ die Konstante ist. Also:

$$x_{2,3}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4*2*2}}{2*2}=\frac{-4\pm{16-16}}{4}=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{4}=\frac{-4}{4}=-1$$

Die zweite Nullstelle ist also $x_2=-1$. Eine dritte Nullstelle existiert bei dieser Funktion nicht, da unter der Wurzel $0$ steht. Die Wurzel in der Mitternachtsformel wird Diskriminante genannt. Wenn unter der Diskriminante eine positive Zahl steht, so liefert die Mitternachtsformel zwei Lösungen. Steht unter der Diskriminante eine $0$, so liefert die Mitternachtsformel eine Lösung. Steht unter der Diskriminante eine negative Zahl, so liefert die Mitternachtsformel keine Lösung, demzufolge existiert dann auch keine Nullstelle dieses Linearfaktoren.

3.4. Substitution

Die Substitution ist das komplizierteste Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei werden bestimmte Potenzen von $x$ durch eine Variable zunächst ersetzt. Dann wird nach dieser Variable aufgelöst und es wird wieder in die Ausgangsvariable übersetzt. Das ist so ohne Beispiel schwer zu verstehen. Eine Beispielfunktion wäre $f(x)=2x^4-5x^2+2$. Hierbei könnte man $x^2=z$ setzen, dann hätte man für die Funktion nur noch $f(z)=2z^2-5z+2$,was wiederum eine Funktion wäre die man mit der Mitternachtsformel auflösen könnte:

$$z_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4*2*2}}{2*2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}} {4}=\frac{5\pm3}{4}\\z_1=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2\qquad z_2=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Nun gilt ja wie vorher gesetzt $x^2=z$ und daher müssen wir die $z$ wieder in $x$ umformen:

$$z_1=2=x^2\quad\mid\,\sqrt{}\quad\longmapsto\quad x_{1,2}=\pm\sqrt{2}\\z_2=\frac{1}{2}=x^2\quad\mid\,\sqrt{}\quad\longmapsto\quad x_{3,4}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Die Gleichung hat also scheinbar vier Nullstellen. Diese befinden sich bei $\pm\sqrt{2}$ und $\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$.

4. Extremstellen bestimmen

Als Extremstellen versteht man Hoch- oder Tiefpunkte einer Funktion. Anschaulich also Berge und Täler des Graphen. Ich möchte hier zusätzlich auch die Sattelpunkte besprechen, da es vom verfahren sehr ähnlich ist!
Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, bei dem Funktion zuvor ansteigend ist, beim Sattelpunkt die Steigung $0$ hat, wie bei jedem Extrema, und die Funktion danach wieder ansteigt. Natürlich geht das auch mit kontinuierlich fallenden Funktionen. Um die Extremstellen zu bestimmen müssen wir die erste Ableitung unserer Ausgangsfunktion gleich $0$ setzen. Wir nehmen hier als Beispielfunktion $f(x)=x^4-x^2+2$ und müssen diese ersteinmal ableiten, dabei erhalten wir $f^{\prime}(x)=4x^3-2x$ und von dieser Funktion müssen wir jetzt wie bei 3. erklärt die Nullstellen bestimmen:

$$f'(x)=0=4x^3-2x=2x*(2x^2-1)$$

Nun wissen wir zumindest bei welchen $x$-Werten sich die Extremstellen befinden. Wir wissen allerdings immer noch nicht, ob es Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte sind. Dazu benötigen wir die hinreichenden Bedingungen, von denen die einfachere sicherlich die über die zweite Ableitung der Funktion ist. Dabei leitet man die Funktion $f^{\prime}(x)$ ein weiteres Mal ab und setzt in die erhaltene Funktion dann die gerade erhaltenen Extremstellen ein. Ist das Ergebnis der Funktion dann größer als $0$ haben wir einen Tiefpunkt ist es kleiner als $0$ haben wir einen Hochpunkt und falls es gleich $0$ ist haben wir an dieser Stelle einen Sattelpunkt. Das bedeutet für unser Beispiel:

$$f'(x)=4x^3-2x\quad\longmapsto\quad f''(x)=12x^2-2$$

$\\ f^{\prime\prime}(0)=12*0^2-2=-2<0\,\longmapsto\, Hochpunkt \\ f^{\prime\prime}(\sqrt{0,5})=12*(\sqrt{0,5})^2-2=12*\frac{1}{2}-2=6-2=4>0\,\longmapsto\, Tiefpunkt \\ f^{\prime\prime}(-\sqrt{0,5})=12*(-\sqrt{0,5})^2-2=12*\frac{1}{2}-2=6-2=4>0\,\longmapsto\, Tiefpunkt$

Wir haben also bei dem $x$-Wert $0$ einen Hochpunkt und bei den Werten $\sqrt{0,5}$ und $-\sqrt{0,5}$ Tiefpunkte. Sattelpunkte gibt es bei dieser Funktion keine. Um die $y$-Koordinaten zu den Werten herauszubekommen müsste man sie wieder in $f(x)$ einsetzen:

$\\ f(0)=0^4-0^2+2=2\,\longmapsto\, H(0/2) \\ f(\sqrt{0,5})=(\sqrt{0,5})^4-(\sqrt{0,5})^2+2=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2=1,75\,\longmapsto\, T_1(\sqrt{0,5}/1,75) \\ f(-\sqrt{0,5})=(-\sqrt{0,5})^4-(-\sqrt{0,5})^2+2=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2=1,75\\ \longmapsto\, T_2(-\sqrt{0,5}/1,75)$

Nun sind alle Extremstellen bestimmt.

5. Wendestellen bestimmen

Wendestellen sind Stellen an denen die Funktion die maximale bzw. minimale Steigung hat, d.h. auch dass sie an Wendestellen von einer Rechts- bzw. Linkskurve in eine Links- bzw. Rechtskurve „wendet“, daher auch der Name. Die notwendige Bedingung an Wendestellen ist dass die zweite Ableitung gleich $0$ sein muss. Als Funktion nehmen wir die aus dem vorherigen Beispiel:

$$f(x)=x^4-x^2+2\quad f'(x)=4x^3-2x\quad f''(x)=12x^2-2$$

Und nun soll gelten: $f^{\prime\prime}(x)=0=12x^2-2 \\ 2=12x^2\quad\mid:2 \\ \frac{1}{6}=x^2\quad\mid\sqrt{} \\ x_1=\frac{1}{\sqrt{6}}\quad x_2=-\frac{1}{\sqrt{6}}$

Nun haben wir also bei $x_1$ und $x_2$ Wendestellen. Wenn uns nun noch interessiert ob wir von einer Links- in eine Rechtskurve übergehen oder andersherum müssen wir noch die dritte Ableitung bestimmen und in diese $x_1$ und $x_2$ einsetzen. Wenn der Wert kleiner $0$ist gehen wir von einer Linkskurve in eine Rechtskurve, falls er größer $0$ ist von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

$$f^{\prime\prime\prime}(x)=24x$$

  $f^{\prime\prime\prime}(\frac{1}{\sqrt{6}})=24*\frac{1}{\sqrt{6}} >0\,\longmapsto\, Rechtskurve\rightarrow Linkskurve \\ f^{\prime\prime\prime}(-\frac{1}{\sqrt{6}})=24*(-\frac{1}{\sqrt{6}}) <0\,\longmapsto\, Linkskurve\rightarrow Rechtskurve$

Um die $y$-Werte der Wendestellen zu erhalten müssen natürlich die erhaltenen $x$-Werte wieder in $f(x)$ eingesetzt werden.

Somit habt ihr die komplette Kurvendiskussion durchgeführt und könnt nun den Graphen der Funktion zeichnen, die ihr untersucht habt. Die Funktion die hier jetzt als Beispiel für die Berechnung der Extrem und Wendestellen gedient hat sieht volgendermaßen aus:

 

 

6. Monotonie

Die Monotonie einer Funktion ist ein Thema, welches nicht unbedingt notwendig ist um eine Kurvendiskussion durchzuführen. Allerdings schadet es nicht sich auch dabei etwas auszukennen. Als Monotonie bezeichnet man ein bestimmtes Verhalten einer Funktion auf einem gewissen Intervall. Die Funktion kann dabei vier Zustände annehmen. Sie kann:

• Streng monoton steigend sein. Das heißt ihre Ableitung ist immer größer als null: $f^{\prime}(x)>0$
• Monoton steigend sein. Das würde bedeuten dass ihre Ableitung im Intervall größer oder gleich null sein muss: $f^{\prime}(x)\geq 0$
• Monoton fallend sein. Dabei wäre ihre Ableitung im Intervall immer kleiner oder gleich null: $f^{\prime}(x)\leq 0$
• Streng monoton fallend sein, wobei die Ableitung immer kleiner als null wäre: $f^{\prime}(x)<0$

Um herauszufinden welcher dieser Fälle zutrifft müsste man die Ausgangsfunktion ableiten und prüfen, ob zwischen den Intervallgrenzen Nullstellen bestehen. Falls ja und, falls es welche mit Vorzeichenwechsel sind ist keiner der Fälle erfüllt. Falls es welche ohne Vorzeichenwechsel sind ist die Funktion nicht „streng“. Nun wäre zu prüfen ob die Ableitung im Intervall größer oder kleiner null ist und je nach dem wäre die Funktion monoton steigend oder fallend. Falls es allerdings keine Nullstellen im Intervall gibt ist die Funktion auf dem Intervall „streng“. Man müsste auch hier wieder über einen Beispielwert prüfen ob steigend oder fallend.

 

 

Damit wäre das Thema der Kurvendiskussion mit ganzrationalen Funktionen erledigt. Man kann auch Kurvendiskussionen mit gebrochenrationalen Funktionen der Form

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

durchführen. Dieses Thema möchte ich allerdings in einem seperaten Artikel bearbeiten.

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